Transversal (geometri)

Dalam geometri, sebuah transversal atau garis melintang adalah garis yang melalui dua garis pada bidang yang sama pada dua titik yang berbeda. Transversal berperan dalam menentukan apakah dua atau lebih garis lain dalam bidang Euklides adalah paralel. Irisan transversal dengan dua garis membuat berbagai jenis pasangan sudut: sudut dalam berurutan, sudut luar berurutan, sudut padanan, dan sudut selang-seling. Sebagai konsekuensi dari postulat paralel Euklides, jika kedua garis sejajar, sudut-sudut dalam berurutan adalah suplemen, sudut padanan sama besar, dan sudut berseberangan sama besar.


Delapan sudut transversal. (Sudut vertikal seperti $\alpha$ dan $\gamma$ adalah kongruen.)		Transversal antara garis yang tidak sejajar. Sudut berurutan adalah bukan-suplemen.	Transversal antara garis sejajar. Sudut berurutan adalah komplekmen.

Sudut transversal

Sebuah transversal menghasilkan 8 sudut, seperti yang ditunjukkan pada grafik sebelah kiri atas:

4 dengan masing-masing dua garis, yaitu α, β, γ dan δ, kemudian α₁, β₁, γ₁ dan δ₁; dan
4 diantaranya adalah interior (antara dua garis), yaitu α, β, γ₁ dan δ₁ dan 4 diantaranya adalah eksterior, yaitu α₁, β₁, γ dan δ.

Transversal yang memotong dua garis sejajar pada sudut siku-sikus disebut transversal tegak lurus. Dalam hal ini, semua 8 sudut siku-siku ^[1]

Ketika garisnya adalah sejajar, kasus yang sering dipertimbangkan, transversal menghasilkan beberapa kongruen dan beberapa sudut suplemen. Beberapa pasangan sudut ini memiliki nama khusus dan dibahas dibawah ini:^[2]^[3] sudut padanan, sudut selang-seling, dan sudut berurutan.

Sudut selang-seling

Sudut selang-seling adalah empat pasang sudut, yaitu:

memiliki titik simpul yang berbeda,
berbaring disisi berlawanan dari transversal dan
kedua sudutnya dalam atau kedua sudutnya luar.

Jika dua sudut dari satu pasangan kongruen (sama besar), maka sudut masing-masing pasangan lainnya adalah kongruen.

Proposisi 1.27 dari Elemen Euklid, teorema geometri absolut (karenanya valid untuk hiperbolik dan geometri Euklides), membuktikan bahwa jika sudut-sudut dari sepasang sudut selang-seling pada transversal kongruen maka kedua garis tersebut sejajar (bukan irisan).

Ini mengikuti dari postulat paralel Euklides bahwa jika dua garis sejajar, maka sudut-sudut dari sepasang sudut selang-seling dari suatu transversal adalah kongruen (Proposisi 1.29 dari "Elemen" Euklid).

Sudut padanan

Sudut padanan adalah empat pasang sudut yang :

memiliki sumbu titik,
berbaring pada sisi yang sama dari transversal dan
satu sudut adalah interior dan yang lainnya adalah eksterior.

Dua garis sejajar jika dan hanya jika dua sudut dari setiap pasangan sudut padanan dari setiap transversal kongruen (sama dalam ukuran).

Proposisi 1.28 dari Elemen Euklid, teorema geometri absolut (karenanya valid dalam hiperbolik dan geometri Euklides), membuktikan bahwa jika sudut-sudut dari sepasang sudut padanan pada transversal kongruen maka kedua garis tersebut sejajar (bukan irisan).

Ini mengikuti dari postulat paralel Euklides bahwa jika dua garis sejajar, maka sudut-sudut dari sepasang sudut padanan dari suatu transversal adalah kongruen (Proposisi 1.29 dari "Elemen" Euklid).

Jika sudut dari satu pasang sudut padanan kongruen, maka sudut dari masing-masing pasangan yang lain juga kongruen. Dalam berbagai gambar dengan garis sejajar di halaman ini, pasangan sudut padanan adalah: α=α₁, β=β₁, γ=γ₁ dan δ=δ₁.

Sudut dalam berurutan

Sudut dalam berurutan adalah dua pasang sudut yang:^[2]^[4]

memiliki sumbu titik yang berbeda,
berbaring pada sisi yang sama dari transversal dan
keduanya adalah interior.

Dua garis dikatakan sejajar jika dan hanya jika dua sudut dari setiap pasangan sudut dalam yang berurutan pada setiap transversal suplemen (jumlahnya 180°).

Proposisi 1.28 dari Elemen Euclid, teorema geometri absolut (karenanya valid dalam hiperbolik dan Geometri Euklides), membuktikan bahwa jika sudut-sudut dari sepasang sudut dalam berurutan suplemen maka kedua garis tersebut sejajar (tidak berpotongan).

Ini mengikuti dari postulat paralel Euklides bahwa jika dua garis sejajar, maka sudut-sudut dari sepasang sudut dalam yang berurutan dari suatu transversal adalah pelengkap (Proposisi 1.29 dari Elemen Euklid).

Jika satu pasang sudut dalam berurutan suplemen, maka pasangan yang lain adalah suplemen.

Karakteristik lain dari transversal

Jika tiga garis pada posisi umum membentuk segitiga kemudian dipotong oleh transversal, panjang enam segmen yang dihasilkan memenuhi teorema Menelaus.

Teorema terkait

Rumus Euklides dari postulat paralel dapat dinyatakan dalam bentuk transversal. Khususnya, jika sudut dalam pada sisi yang sama dari transversal kurang dari dua sudut siku-siku maka garis tersebut adalah irisan. Bahkan, Euklides menggunakan frasa yang sama dalam bahasa Yunani yang biasanya diterjemahkan sebagai "transversal".^[5]

Proposisi Euklid 27 menyatakan bahwa jika sebuah garis melintang memotong dua garis sehingga sudut-sudut dalam berseberangan kongruen, maka garis tersebut sejajar. Euklid membuktikan ini dengan kontradiksi: Jika garis-garis tersebut tidak sejajar maka ia adalah potongan/irisan dan terbentuknya sebuah segitiga. Maka salah satu sudut berseberangan adalah sudut luar yang sama dengan sudut lainnya yang merupakan sudut dalam berlawanan dalam segitiga. Hal ini bertentangan dengan Proposisi 16 yang menyatakan bahwa sudut luar segitiga lebih besar dari sudut dalam berlawanan.^[6]^[7]

Proposisi Euklid 28 diperluas hasil ini dalam dua cara. Pertama, jika sebuah garis melintang memotong dua garis sehingga sudut-sudut yang bersesuaian kongruen, maka garis-garis itu sejajar. Kedua, jika sebuah transversal memotong dua garis sehingga sudut-sudut dalam pada sisi yang sama dari garis transversal suplemen, maka garis-garis tersebut sejajar. Ini mengikuti dari proposisi sebelumnya dengan menerapkan fakta bahwa sudut berlawanan dari garis potongan adalah sama (Prop. 15) dan bahwa sudut damping pada suatu garis adalah suplemen (Prop. 13). Sebagaimana dicatat oleh Proclus, Euklid hanya memberikan tiga dari enam kemungkinan kriteria untuk garis paralel tersebut.^[8]^[9]

Proposisi Euklid 29 adalah kebalikan dari dua sebelumnya. Pertama, jika sebuah transversal memotong dua garis sejajar, maka sudut-sudut dalam berseberangan adalah kongruen. Jika tidak, maka yang satu lebih besar dari yang lain, yang berarti suplemennya lebih kecil dari suplemen sudut lainnya. Ini menyatakan bahwa sudut dalam pada sisi yang sama dari transversal yang kurang dari dua sudut siku-siku, bertentangan dengan postulat kelima. Proposisi dilanjutkan dengan menyatakan bahwa pada transversal dua garis sejajar, sudut-sudut yang bersesuaian kongruen dan sudut-sudut dalam pada sisi yang sama sama dengan dua sudut siku-siku Pernyataan ini mengikuti dengan cara yang sama seperti Prop.28 mengikuti dari Prop.27.^[10]^[11]

Bukti Euklid membuat penggunaan penting dari postulat kelima, namun, perawatan modern geometri menggunakan aksioma Playfair sebagai gantinya. Untuk membuktikan proposisi 29 dengan asumsi aksioma Playfair, maka sebuah transversal melintasi dua garis sejajar dan bahwa sudut-sudut dalam berseberangan tidak sama. Gambarlah garis ketiga melalui titik dimana garis melintang memotong garis pertama, tetapi dengan sudut yang sama dengan sudut yang dibuat garis transversal dengan garis kedua. Ini menghasilkan dua garis yang berbeda melalui suatu titik, keduanya sejajar dengan garis lain, bertentangan dengan aksioma.^[12]^[13]

Dalam dimensi tinggi

Dalam ruang dimensi tinggi, sebuah garis memotong setiap himpunan garis di titik-titik yang berbeda adalah "transversal" dari himpunan garis tersebut. Berbeda dengan kasus dua dimensi (bidang), transversal tidak menjamin untuk himpunan lebih dari dua garis.

Dalam ruang Euklidean-3, regulus adalah himpunan garis miring, $R$ , sehingga melalui setiap titik pada setiap baris $R$ , apabila transversal $R$ dan setiap titik transversal $R$ melewati garis $R$ . Himpunan transversal dari suatu regulus $R$ juga merupakan regulus, yang disebut regulus berhadapan, $R o$ . Dalam ruang ini, tiga garis miring dapat diperpanjang ke regulus.

Referensi

^ "Transversal". Math Open Reference. 2009. (interaktif)
^ ^a ^b Rod Pierce (2011). "Parallel Lines". MathisFun. (interaktif)
^ Holgate Art. 87
^ C.Clapham, J.Nicholson (2009). "Oxford Concise Dictionary of Mathematics" (PDF). Addison-Wesley. hlm. 582.
^ Heath p. 308 note 1
^ Heath p. 307
^ Lihat pula Seni Holgate. 88
^ Heath p. 309-310
^ Lihat pula Seni Holgate. 89-90
^ Heath hlm. 311-312
^ Lihat pula Seni Holgate. 93-95
^ Heath hlm. 313
^ Bukti serupa diberikan oleh Holgate Art. 93

Holgate, Thomas Franklin (1901). Elementary Geometry. Macmillan.
Thomas Little Heath, T.L. (1908). The thirteen books of Euclid's Elements. 1. The University Press. hlm. 307 ff.

[1] "Transversal". Math Open Reference. 2009. (interaktif)

[MathisFun-2] Rod Pierce (2011). "Parallel Lines". MathisFun. (interaktif)

[3] Holgate Art. 87

[Oxford-4] C.Clapham, J.Nicholson (2009). "Oxford Concise Dictionary of Mathematics" (PDF). Addison-Wesley. hlm. 582.

[5] Heath p. 308 note 1

[6] Heath p. 307

[7] Lihat pula Seni Holgate. 88

[8] Heath p. 309-310

[9] Lihat pula Seni Holgate. 89-90

[10] Heath hlm. 311-312

[11] Lihat pula Seni Holgate. 93-95

[12] Heath hlm. 313

[13] Bukti serupa diberikan oleh Holgate Art. 93

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]

[11]

[12]

[13]